Area del trapezio: formule e metodi di calcolo

Sommario:

Area del trapezio: formule e metodi di calcolo
Area del trapezio: formule e metodi di calcolo
Anonim

Per sentirsi sicuri e risolvere con successo i problemi nelle lezioni di geometria, non è sufficiente imparare le formule. Devono essere capiti prima. Avere paura, e ancor di più odiare le formule, è improduttivo. In questo articolo verranno analizzati vari modi per trovare l'area di un trapezio in un linguaggio accessibile. Per una migliore assimilazione delle corrispondenti regole e teoremi, presteremo una certa attenzione alle sue proprietà. Questo ti aiuterà a capire come funzionano le regole e in quali casi dovrebbero essere applicate determinate formule.

Definisci un trapezio

zona trapezoidale
zona trapezoidale

Qual è questa cifra in generale? Un trapezio è un poligono con quattro angoli e due lati paralleli. Gli altri due lati del trapezio possono essere inclinati con diverse angolazioni. I suoi lati paralleli sono chiamati basi e per i lati non paralleli viene utilizzato il nome "lati" o "fianchi". Tali figure sono abbastanza comuni nella vita di tutti i giorni. I contorni del trapezio possono essere visti nelle sagome di vestiti, oggetti interni, mobili, piatti e molti altri. Il trapezio può essere di diversi tipi: versatile, isoscele e rettangolare. Analizzeremo i loro tipi e proprietà in modo più dettagliato più avanti nell'articolo.

Proprietà trapezoidali

qual è l'area del trapezio
qual è l'area del trapezio

Soffermiamoci brevemente sulle proprietà di questa figura. La somma degli angoli adiacenti a qualsiasi lato è sempre 180°. Va notato che tutti gli angoli di un trapezio si sommano fino a 360°. Il trapezio ha il concetto di linea mediana. Se colleghi i punti medi dei lati con un segmento, questa sarà la linea mediana. È designato m. La linea di mezzo ha proprietà importanti: è sempre parallela alle basi (ricordiamo che anche le basi sono parallele tra loro) ed uguale alla loro semisomma:

m=(a+b)/2.

Questa definizione deve essere appresa e compresa, perché è la chiave per risolvere molti problemi!

Al trapezio, puoi sempre abbassare l' altezza alla base. Un' altitudine è una perpendicolare, spesso indicata dal simbolo h, che viene disegnata da un punto qualsiasi di una base a un' altra base o alla sua estensione. La linea mediana e l' altezza ti aiuteranno a trovare l'area del trapezio. Tali compiti sono i più comuni nel corso di geometria della scuola e compaiono regolarmente tra le carte di controllo e d'esame.

Le formule più semplici per l'area di un trapezio

zona trapezoidale
zona trapezoidale

Analizziamo le due formule più popolari e semplici che aiutano a trovare l'area di un trapezio. Basta moltiplicare l' altezza per la metà della somma delle basi per trovare facilmente quello che cerchi:

S=h(a + b)/2.

In questa formula, a, b denotano le basi del trapezio, h - l' altezza. Per facilità di lettura, in questo articolo, i segni di moltiplicazione sono contrassegnati con il simbolo () nelle formule, sebbene nei libri di consultazione ufficiali il segno di moltiplicazione sia solitamente omesso.

Consideriamo un esempio.

Dato: un trapezio con due basi di 10 cm e 14 cm e un' altezza di 7 cm Qual è l'area del trapezio?

Analizziamo la soluzione a questo problema. Usando questa formula, devi prima trovare la metà della somma delle basi: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Quindi, la metà della somma è 12 cm Ora moltiplichiamo la metà della somma per l' altezza: 127 \u003d 84. Viene trovato il desiderato. Risposta: L'area di un trapezio è di 84 metri quadrati. vedi

La seconda formula ben nota dice: l'area di un trapezio è uguale al prodotto della linea mediana per l' altezza del trapezio. Cioè, in re altà segue dal precedente concetto di linea mediana: S=mh.

zona trapezoidale
zona trapezoidale

Utilizzare le diagonali per i calcoli

Un altro modo per trovare l'area di un trapezio in re altà non è così difficile. È connesso con le sue diagonali. Secondo questa formula, per trovare l'area, devi moltiplicare il semiprodotto delle sue diagonali (d1 d2) per il seno del angolo tra loro:

S=½ re1 re2 peccato a.

Consideriamo un problema che mostra l'applicazione di questo metodo. Dato: un trapezio con diagonale di lunghezza rispettivamente di 8 e 13 cm L'angolo a tra le diagonali è di 30°. Trova l'area del trapezio.

Decisione. Utilizzando la formula sopra, è facile calcolare ciò che è richiesto. Come sai, sin 30° è 0,5, quindi S=8130,5=52. Risposta: L'area è di 52 mq. vedi

Cercando l'area di un trapezio isoscele

Il trapezio può essere isoscele (isoscele). I suoi lati sono gli stessi E gli angoli alle basi sono uguali, il che è ben illustrato nella figura. Un trapezio isoscele ha le stesse proprietà di un trapezio regolare, più un certo numero di speciali. Un cerchio può essere circoscritto attorno a un trapezio isoscele e un cerchio può essere inscritto in esso.

trova l'area del trapezio
trova l'area del trapezio

Quali sono i metodi per calcolare l'area di una tale cifra? Il metodo seguente richiederà molti calcoli. Per utilizzarlo è necessario conoscere i valori del seno (sin) e del coseno (cos) dell'angolo alla base del trapezio. I loro calcoli richiedono tabelle Bradis o un calcolatore di ingegneria. Ecco la formula:

S=c peccato a (a – c cos a), dove c è la coscia laterale, a è l'angolo alla base inferiore.

Un trapezio isoscele ha diagonali della stessa lunghezza. È vero anche il contrario: se le diagonali di un trapezio sono uguali, allora è isoscele. Da qui la seguente formula, che aiuta a trovare l'area di un trapezio - il semiprodotto del quadrato delle diagonali e il seno dell'angolo tra di loro: S=½ d2peccato a.

Trova l'area di un trapezio rettangolare

zona trapezoidale
zona trapezoidale

C'è un caso speciale di un trapezio rettangolare. Questo è un trapezio, in cui un lato (la sua coscia) è adiacente alle basi ad angolo retto. Ha le proprietà di un normale trapezio. Inoltre, ha una caratteristica molto interessante. La differenza dei quadrati delle diagonali di un tale trapezio è uguale alla differenza dei quadrati delle sue basi. Per questo, vengono utilizzati tutti i metodi forniti in precedenza per il calcolo dell'area.

Usa il tuo ingegno

C'è un trucco che può aiutare in caso di dimenticanza di formule specifiche. Diamo un'occhiata più da vicino a cos'è un trapezio. Se lo dividiamo mentalmente in parti, otterremo forme geometriche familiari e comprensibili: un quadrato o un rettangolo e un triangolo (uno o due). Se conosci l' altezza e i lati del trapezio, puoi utilizzare le formule per l'area di un triangolo e un rettangolo, quindi sommare tutti i valori ottenuti.

Illustriamo questo con il seguente esempio. Dato un trapezio rettangolare. Angolo C=45°, angoli A, D sono 90°. La base superiore del trapezio è di 20 cm, l' altezza è di 16 cm È necessario calcolare l'area della figura

Decisione

Questa figura è ovviamente composta da un rettangolo (se due angoli sono 90°) e da un triangolo. Poiché il trapezio è rettangolare, quindi, la sua altezza è uguale al suo lato, cioè 16 cm Abbiamo un rettangolo con lati rispettivamente di 20 e 16 cm. Consideriamo ora un triangolo il cui angolo sia 45°. Sappiamo che uno dei suoi lati misura 16 cm, poiché questo lato è anche l' altezza del trapezio (e sappiamo che l' altezza cade sulla base ad angolo retto), quindi il secondo angolo del triangolo è 90°. Quindi l'angolo rimanente del triangolo è 45°. Di conseguenza, otteniamo un triangolo isoscele rettangolo, in cui due lati sono uguali. Ciò significa che l' altro lato del triangolo è uguale all' altezza, cioè 16 cm. Resta da calcolare l'area di un triangolo e un rettangolo e aggiungere i valori risultanti.

L'area di un triangolo rettangolo è uguale alla metà del prodotto delle sue gambe: S=(1616)/2=128. L'area di un rettangolo è uguale al prodotto di la sua larghezza e lunghezza: S=2016=320. Abbiamo trovato il necessario: l'area del trapezio S=128 + 320=448 mq. vedi Puoi facilmente ricontrollare te stesso usando le formule di cui sopra, la risposta sarà identica.

Usa la formula del picco

zona trapezoidale
zona trapezoidale

Infine, ecco un' altra formula originale che aiuta a trovare l'area di un trapezio. Si chiama formula Pick. È conveniente usarlo quando il trapezio è disegnato su carta a scacchi. Compiti simili si trovano spesso nei materiali del GIA. Si presenta così:

S=M/2 + N – 1, in questa formula M è il numero di nodi, cioè intersezioni delle linee della figura con le linee della cella ai bordi del trapezio (punti arancioni nella figura), N è il numero di nodi all'interno della figura (punti blu). È più conveniente usarlo quando si trova l'area di un poligono irregolare. Tuttavia, maggiore è l'arsenale di tecniche utilizzate, minori errori e risultati migliori.

Ovviamente, le informazioni di cui sopra non esauriscono i tipi e le proprietà di un trapezio, così come i modi per trovarne l'area. Questo articolo fornisce una panoramica delle sue caratteristiche più importanti. Nella risoluzione dei problemi geometrici, è importante agire gradualmente, iniziare con formule e problemi facili, consolidare costantemente la comprensione, passare a un altro livello di complessità.

Le formule più comuni messe insieme aiuteranno gli studenti a navigare nei vari modi per calcolare l'area di un trapezio e prepararsi meglio per test e test su questo argomento.

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